Lösungen zum Kapitel „Kostendefinition und Kostenbegriffe“

Lösung zur Aufgabe 1.2.1

  1. Ergänzte Gleichungen:

  2. Unter Fixkosten versteht man Kosten, die unabhängig von der Ausbringungsmenge sind.

    Beispiele: Gehalt des Geschäftsführers, Abschreibungen, Fremdkapitalzinsen, Kosten für Wartungsverträge, Grundgebühr für Strom, Mieten.

  3. Durchschnittskosten bei 2.000 Outputeinheiten:

    Durchschnittskosten bei 3.000 Outputeinheiten:

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Lösung zur Aufgabe 1.2.2

  1. Graphische Darstellung:

    Bei der Erstellung der Grafik können Sie folgendermaßen vorgehen:

    Da die Kapazitätsgrenze des Unternehmens bei 20 Outputeinheiten liegt, ist 20 der höchste Wert, der auf der x-Achse (auch Abszisse genannt) dargestellt werden muss. Sie zeichnen also eine waagerechte Linie, tragen ganz links den Wert 0 und ganz rechts auf dieser Linie den Wert 20 ab. Danach teilen Sie das Intervall von 0 bis 20 in 4 gleich lange Abschnitte ein und beschriften die Teilabschnitte mit 5, 10, und 15. Nun ermitteln Sie den höchstmöglichen Kostenwert: Die höchsten Kosten entstehen, wenn an der Kapazitätsgrenze, also bei 20 Outputeinheiten, produziert wird. Dafür setzen Sie in die Kostenfunktion für x den Wert 20 ein und ermitteln die zugehörigen Kosten:

    K = 100 + 10x = 100 + 10 * 20 = 300

    Nun zeichnen Sie eine Senkrechte im 0-Punkt der x-Achse und tragen ganz oben auf dieser Senkrechten (auch Ordinate genannt) den Wert 300 ein. Dann unterteilen Sie das Intervall zwischen 0 und 300 in fünf gleiche Teile, die Sie mit 50, 100, 150, 200 und 250 beschriften. Werden 0 Outputeinheiten hergestellt, entsprechen die Gesamtkosten den Fixkosten, also dem Wert 100. Nun tragen Sie in das Koordinatensystem zwei Kreuzchen ein: Dem x-Wert von 0 ordnen Sie durch das erste Kreuzchen den Kostenwert 100 zu und dem x-Wert von 20 wird durch ein zweites Kreuzchen der Wert 300 zugeordnet. Die beiden Kreuzchen werden dann durch eine Linie verbunden. Diese Linie stellt die Gesamtkostenfunktion dar. Die variablen Kosten sind bei einer Produktion von 0 Outputeinheiten ebenfalls gleich 0 (erstes Kreuzchen). Die variablen Kosten bei 20 Outputeinheiten sind:

    Kv = 10x = 10 * 20 = 200 (zweites Kreuzchen)

    Sie verbinden beide Kreuzchen durch eine Linie. Diese Linie stellt die Funktion der variablen Kosten dar. Die fixen Kosten sind bei einer Produktion von 0 Outputeinheiten 100 (erstes Kreuzchen). Die fixen Kosten bei 20 Outputeinheiten sind ebenfalls 100 (zweites Kreuzchen). Die Verbindung dieser beiden Kreuzchen (Parallele zur x-Achse beim Wert 100) ergibt die Funktion der Fixkosten.

  2. Graphische Darstellung:

    Bei der Darstellung von Stückostenkurven kommt es in der Regel nur auf den grundsätzlichen Verlauf dieser Kurven an. Man beginnt deshalb am besten mit der Darstellung der variablen Stückkosten:

    Die variablen Stückkosten sind unabhängig von der Outputmenge immer 10. Sie tragen also auf der Ordinate an einer beliebigen Stelle den Wert 10 ein und zeichnen bei diesem Wert eine Parallele zur x-Achse. Damit sind die variablen Stückkosten dargestellt. Die fixen Stückkosten werden bei zunehmender Outputmenge immer kleiner, sie nähern sich bei sehr großen Ausbringungsmengen dem Wert 0 an. Mathematiker würden sagen, dass sich die fixen Stückkosten asymptotisch dem Wert 0 annähern. Unter einer Asymptote versteht man eine Kurve, die einem bestimmten Wert immer näher kommt, ohne diesen je zu erreichen. Die gesamten Stückkosten stellen dann zwangsläufig eine Asymptote zu den variablen Stückkosten dar, sie nähern sich bei zunehmender Ausbringungsmenge immer mehr dem Wert 10, ohne diesen jemals zu erreichen.

    In der obigen Abbildung wurde zur optischen Verdeutlichung dieser Zusammenhänge für x der Maximalwert 100 gewählt, obwohl der betrachtete Betrieb lediglich 20 Outputeinheiten pro Periode herstellen kann.

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Lösung zur Aufgabe 1.2.3

  1. Pro Outputeinheit fallen 2 kg * 1,5 € = 3 € an Materialkosten und 2 € an Fertigungslöhnen an, die variablen Stückkosten betragen also insgesamt 5 €. Bei 10.000 € an Fixkosten lautet also die Kostenfunktion:

    K = 10.000 + 5x

  2. Um die Gesamtkosten zu berechnen, setzt man in die Kostenfunktion für die unabhängige Variable x den Wert 20.000 ein und errechnet daraus die abhängige Variable K:

    K = 10.000 + 5 * 20.000 = 110.000

  3. Kv = kv * x = 5 * 15.000 = 75.000

  4. Bei der grafischen Darstellung der Stückkostenverläufe gehen Sie folgendermaßen vor:

    Da die Kapazitätsgrenze bei 20.000 Outputeinheiten liegt, tragen Sie diesen Wert als höchsten Wert möglichst weit rechts auf der x- Achse (Abszisse) ein. Nun tragen Sie auf der y-Achse (Ordinate) den Wert 5 ein und zeichnen bei diesem Wert eine Parallele zur x- Achse. Damit haben Sie die Funktion der variablen Stückkosten dargestellt.

    Wie Sie nun aus Aufgabe 1.2.1 wissen, nähern sich die fixen Stückkosten asymptotisch dem Wert 0 und die gesamten Stückkosten nähern sich asymptotisch dem Wert 5, also den variablen Stückkosten.

    Führen Sie sich noch einmal folgendes vor Augen:

    • Die variablen Kosten verändern sich mit der Ausbringungsmenge, während die variablen Stückkosten konstant sind.

    • Die fixen Kosten sind konstant, während sich die fixen Stückkosten mit der Ausbringungsmenge ändern.

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Lösung zur Aufgabe 1.2.4

  1. Zunächst müssen die angegebenen Kosten in variable und fixe getrennt werden:

    Zur Erstellung der Kostenfunktion ist es erforderlich, die variablen Stückkosten zu ermitteln. Die variablen Kosten in Höhe von 340.000€ entstehen für die produzierte Menge von 20.000 Einheiten und nicht für die abgesetzte Menge. Also lassen sich die variablen Stückkosten mit folgender Formel ermitteln:

    Damit lautet die Kostenfunktion:

    K = 150.000 + 17x

  2. Grafische Darstellung:

  3. Grafische Darstellung:

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Lösungen zum Kapitel „Auswahl des kostenminimalen Produktionsverfahrens"

Lösung zur Aufgabe 1.3.1

Im ersten Schritt werden für alle drei Möglichkeiten die Kostenfunktionen erstellt:

Im Falle des Einsatzes der Schreibkraft entstehen pro Seite variable Stückkosten von 7 €, da sie in der Stunde 28 € kostet und pro Stunde 4 Seiten Abschriften herstellen kann. Fixkosten entstehen beim Einsatz der Schreibkraft nicht.
Der Tischkopierer verursacht pro Jahr Abschreibungen von 250 € und zusätzlich Betriebskosten von 200 €. Die Fixkosten des Tischkopierers belaufen sich also insgesamt auf 450 €. Seine variablen Stückkosten betragen 0,40 €.
Der Großkopierer verursacht pro Jahr Abschreibungen von 2.000 € und zusätzlich Betriebskosten von 500 €. Die Fixkosten des Großkopierers belaufen sich also insgesamt auf 2.500 €. Seine variablen Stückkosten betragen 0,15 €.

Die drei Kostenfunktionen lauten also:

KI = 7x
KII = 450 + 0,4x
KIII = 2.500 + 0,15x

Nun werden die Kostenfunktionen aller drei Möglichkeiten miteinander verglichen:

Vergleich Abschriften mit Tischkopierer:
7x = 450 + 0,4x
6,6x = 450
x = 68,18
Bis einschließlich 68 Kopien pro Jahr sind die Abschriften günstiger als der Tischkopierer. Ab 69 Kopien wird der Tischkopierer kostengünstiger als die Abschriften.

Vergleich Abschriften mit Großkopierer:
7x = 2.500 + 0,15x
6,85x = 2.500
x = 364,96
Bis einschließlich 364 Kopien pro Jahr sind die Abschriften günstiger als der Großkopierer. Ab 365 Kopien wird der Großkopierer preiswerter als die Abschriften.

Vergleich Tischkopierer mit Großkopierer:
450 + 0,4x = 2.500 + 0,15x
0,25x = 2.050
x = 8.200

Bis einschließlich 8.199 Kopien pro Jahr ist der Tischkopierer günstiger als der Großkopierer. Bei 8.200 Kopien sind beide gleich teuer und ab 8.201 Kopien wird der Großkopierer kostengünstiger als der Tischkopierer.

Der Vergleich Abschriften mit Großkopierer ist nicht relevant, da bei 364,96 Kopien der Tischkopierer sowohl günstiger ist als die Abschriften wie auch günstiger als der Großkopierer ist.

Zusammenfassende Beantwortung der Fragestellung:
Bis zu einer Anzahl von 68 Kopien pro Jahr ist es am preiswertesten, Abschriften anfertigen zu lassen. Von 69 bis 8.199 Kopien ist das Tischgerät am preiswertesten, über 8.200 Kopien ist der Großkopierer anzuschaffen. Bei genau 8.200 Kopien sind Tischkopierer und Großkopierer gleich teuer.

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Lösung zur Aufgabe 1.3.2

Zunächst die Kostenfunktionen der drei Typen:

KI = 1000 + 0,20x
KII = 1200 + 0,18x
KIII = 1500 + 0,13x

KI = KII
1000 + 0,20x = 1200 + 0,18x
0,02x = 200
x = 10.000
Bis 9.999 Seiten pro Jahr ist Typ I günstiger als Typ II, bei genau 10.000 Seiten sind beide Typen gleich teuer und über 10.000 Seiten ist Typ II günstiger als Typ I.

KI = KIII
1000 + 0,20x = 1500 + 0,13x
0,07x = 500
x = 7.142,86
Bis 7.142 Seiten ist Typ I günstiger als Typ III. Ab 7.143 Seiten wird Typ III günstiger als Typ I.

KII = KIII
1200 + 0,18x = 1500 + 0,13x
0,05x = 300
x = 6000
Bis 5.999 Seiten ist Typ II günstiger als Typ III, bei 6.000 sind beide gleich teuer und über 6.000 Seiten wird Typ III günstiger als Typ II.

Relevant für die Entscheidung ist nur Typ I und Typ III. Die Beantwortung der Frage lautet also:
Bis 7.142 Seiten pro Jahr ist Typ I günstiger als Typ III, und ab 7.143 Seiten wird Typ III günstiger als Typ I. Typ II kommt bei keiner zu druckenden Seitenanzahl in Frage.

Begründung:
Typ II ist über 10.000 Seiten zwar günstiger als Typ I, bei 10.000 Seiten ist jedoch Typ III schon lange günstiger als Typ II (Typ III wird über 6.000 Seiten günstiger als Typ II).
Typ II ist unter 6.000 Seiten zwar günstiger als Typ III, bei 6.000 Seiten ist jedoch Typ I günstiger als Typ II (Typ I ist bis 10.000 Seiten günstiger als Typ II).

Dies wird vor allem in der folgenden Grafik deutlich. Die rot eingezeichnete Kostenfunktion des Typs II ist bei jeder Ausbringungsmenge ungünstiger (sie verläuft höher) als die Funktionen von Typ I oder Typ III.

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Lösungen zum Kapitel „Nicht lineare Kostenverläufe, zugehörige Stückkosten und Betriebsoptimum"

Lösung zur Aufgabe 1.4.1

Kreuzen Sie von den folgenden Aussagen die richtigen an:

  1. Bei linearem Gesamtkostenverlauf sinken die variablen Stückkosten.
    → Nein, die variablen Stückosten sind konstant.
  2. Man spricht von einem degressiven Verlauf der Kostenfunktion, wenn die Gesamtkosten mit zunehmender Ausbringungsmenge abnehmen.
    → Nein, die Gesamtkosten nehmen nicht ab, sondern sie steigen mit abnehmenden Zuwachsraten.
  3. Beim ertragsgesetzlichen Kostenverlauf sinken die fixen Stückkosten zunächst um dann anzusteigen. Die Funktion der fixen Stückkosten hat also ein Minimum.
    → Nein, die fixen Stückkosten sinken kontinuierlich, weil auch beim ertragsgesetzlichen Kostenverlauf die Fixkosten konstant sind und auf eine immer größere Ausbringungsmenge verteilt werden.
  4. Beim progressiven Kostenverlauf sind die Fixkosten konstant.
    → Richtig
  5. Bei linearem Verlauf der Gesamtkostenfunktion nehmen die Stückkosten mit zunehmender Ausbringungsmenge ab.
    → Richtig
  6. Beim ertragsgesetzlichen Kostenverlauf liegt das Minimum der Stückkosten unterhalb des Wendepunkts.
    → Nein, das Minimum der Stückkosten liegt bei einer Ausbringungsmenge, die höher ist, als die Ausbringungsmenge unterhalb des Wendepunktes.
  7. Bei linearer Gesamtkostenfunktion nähern sich die gesamten Stückkosten asymptotisch dem Wert 0.
    → Nein, sie nähern sich asymptotisch dem Wert der variablen Stückkosten.
  8. Beim progressiven Kostenverlauf steigen die Gesamtkosten überproportional.
    → Richtig
  9. Wenn bei einem degressiven Kostenverlauf der Output um 20% gesteigert wird, steigen die variablen Kosten um weniger als 20%.
    → Richtig
  10. Bei progressivem Verlauf der Gesamtkostenfunktion sinken die Stückkosten.
    → Nein, die Stückkosten sinken zwar zunächst, steigen dann aber an.
  11. Beim ertragsgesetzlichen Kostenverlauf bezeichnet man die Stelle, an der der degressive Kostenanstieg in einen progressiven übergeht, als Wendepunkt.
    → Richtig
  12. Die fixen Stückkosten sinken bei linearer und progressiver Gesamtkostenfunktion.
    → Richtig
  13. Bei progressivem Kostenverlauf hat die Stückkostenfunktion ein Minimum.
    → Richtig
  14. Bei degressivem Kostenverlauf sinken sowohl die fixen wie auch die variablen Stückkosten.
    → Richtig
  15. Bei linearer Gesamtkostenfunktion liegt das Minimum der Stückkosten betriebswirtschaftlich gesehen an der Kapazitätsgrenze.
    → Richtig
  16. Bei linearer Gesamtkostenfunktion sinken die variablen Stückkosten.
    → Nein, die variablen Stückkosten sind konstant.
  17. Bei progressiver Gesamtkostenfunktion nähern sich die fixen Stückosten immer stärker dem Wert 0 an ohne diesen jemals zu erreichen.
    → Richtig
  18. Bei degressiver Gesamtkostenfunktion sinken die Stückkosten zunächst um dann anzusteigen.
    → Nein, die Stückkosten sinken kontinuierlich.

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Lösungen zum Kapitel „Break-Even-Analyse"

Lösung zur Aufgabe 1.6.1

Mathematische Bestimmung des Break-Even-Points:

Der Break-Even-Point liegt bei der Outputmenge, bei der Kosten und Erlöse gleich sind, also dort, wo sich Erlös- und Kostenkurve schneiden, wo also gilt:

E =K
7x = 5000 +2x
5x = 5000
x = 1000

Grafische Lösung:

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Lösung zur Aufgabe 1.6.2

Zunächst muss der Preis des Produktes A in der alten Periode ermittelt werden. Da Erlöse und abgesetzte Mengen bekannt sind, kann dies mit folgender Gleichung geschehen:

E = p * x
200.000 = p * 5000
p = 40

Der Preis der alten Periode beträgt 40 €. Aufgrund der geplanten Preissenkung um 25 % wird das Produkt A in der neuen Periode zu 30 € angeboten.

Zu ermitteln ist nun der erforderliche Sollabsatz, der in der neuen Periode trotz der Preissenkung zu unverädertem Gewinn führt. Der Gewinn ist betriebswirtschaftlich als Differenz zwischen Erlösen und Kosten definiert:

G = E - K

Die Gleichung läßt sich nun folgendermaßen umformen:

In dieser Gleichung gibt es zwei unbekannte Größen, nämlich x (die gesuchte Größe oder der Sollabsatz der neuen Periode) und kv. kv kann folgendermaßen ermittelt werden:

Nun gibt es in der Gleichung nur noch eine Unbekannte x, die sich errechnen lässt:

40.000 = 30x - (40.000 + 24x)
40.000 = 30x - 40.000 - 24x
80.000 = 6x
x = 13.333,33

Bei einem Absatz von 13.333,33 Einheiten bleibt der Gewinn trotz der Preissenkung in der neuen Periode 40.000 €.

Der Sollumsatz beträgt dann:

E = p * x
E = 30 * 13.333,33
E = 400.000

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Lösung zur Aufgabe 1.6.3

Die Sozialkosten betragen laut Aufgabenstellung 15 % der Löhne und Gehälter. Wenn die Löhne im neuen Jahr 147.000 € betragen, so entsprechen hiervon 15 % einem Betrag von 22.050 €, die als variable Kosten zu betrachten sind, da die Löhne ebenfalls variabel sind. Die Gehälter belaufen sich in der neuen Periode auf 63.000 €, 15 % hiervon entsprechen 9.450 €. Die auf die Gehälter entfallenden Sozialkosten sind wie die Gehälter selbst als fix anzusehen. Für das neue Jahr ergeben sich nun die folgenden fixen und variablen Kosten:

Berechnung der variablen Stückkosten:

kv = Kv / x
kv = (84.000 + 147.000 + 22.050 + 8.400) / 30.000
kv = 8,715

Berechnung der Kostenfunktion:

K = Kf + kv * x
K = (63.000 + 9.450 + 5.600 + 5.600 + 19.000 + 10.000) + 8,715x
K = 107.050 + 8,715x

Der Break-Even-Point liegt dort, wo die Erlöse gleich den Kosten sind:

E = K
13x = 107.050 + 8,715x
4,285x = 107.050
x = 24.982,50

Der Break-even-point ist bei einer Ausbringungsmenge von 24.982,50 erreicht.

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Lösung zur Aufgabe 1.6.4

  1. Unternehmenserfolg für verschiedene Beschäftigungssituationen:
    1. Zeitrechnung

      Das Gesamtergebnis einer Periode entwickelt sich bei steigenden Ausbringungsmengen ungünstig.

    2. Stückrechnung:

      Auch die Stückerlöse sinken bei zunehmenden Ausbringungsmengen.

    3. Der Verkauf von 50.000 Einheiten sollte beibehalten werden.
      Ein höherer Absatz verursacht zwei gegenläufige Effekte:
      1. Der Stückgewinn steigt, weil Fixkosten und degressive Kosten auf eine höhere Ausbringungsmenge verteilt werden können.
      2. Der Stückgewinn sinkt, wegen der progressiven Kosten und der sinkenden Stückerlöse.

      Bei den dieser Aufgabe zugrunde liegenden Daten überwiegt der zweite Effekt.

  2. Linearer Kostenverlauf:

    Degressiver Kostenverlauf:

    Progressiver Kostenverlauf:

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Lösungen zum Kapitel „Kurz- und langfristige Preisuntergrenze"

Lösung zur Aufgabe 1.8.1

  1. Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt dort, wo die variablen Stückkosten gerade noch gedeckt sind, wo also p = kv gilt.
    Begründung: Kurzfristig lassen sich Fixkosten nicht abbauen. Es entstehen dem Unternehmen also Verluste in Höhe der Fixkosten sowohl bei Fortführung wie auch bei Einstellung der Produktion. Wenn also die Aussicht besteht, dass die Preise in Kürze wieder anziehen, kann aus kostenrechnerischer Sicht die Produktion weitergeführt werden.

    Um Die Höhe der kurzfristigen Preisuntergrenze zu ermitteln, müssen die variablen Stückkosten errechnet werden:

    Wenn eine Outputerhöhung um 5.000 Einheiten (von 15.000 auf 20.000) zu einer Kostensteigerung um 10.000 € (von 40.000 auf 50.000) führt, so verursacht jede zusätzliche Outputeinheit eine Kostensteigerung um 2 € (10.000 / 5.000 = 2). Also betragen die variablen Stückkosten 2 €. Damit liegt der Preis, bei dem kurzfristig die Produktion beibehalten werden kann, bei 2 €.

  2. Die langfristige Preisuntergrenze ist gleich den Stückkosten des Unternehmens. Zur Ermittlung der langfristigen Preisuntergrenze muss zunächst das Minimum der Stückkosten ermittelt werden. Das Minimum der Stückkosten liegt bei linearem Kostenverlauf an der Kapazitätsgrenze des Unternehmens. Es muss also die Ermittlung der Stückkosten an der Kapazitätsgrenze (25.000 Outputeinheiten) erfolgen:

    Hierzu müssen zunächst die Fixkosten ermittelt werden:

    Bei einer Produktion von 20.000 Einheiten belaufen sich die variablen Kosten auf 2 * 20.000 = 40.000 €. Bei 20.000 Einheiten belaufen sich die Gesamtkosten auf 50.000 €. Also betragen die Fixen Kosten:

    Stückkosten an der Kapazitätsgrenze (bei 25.000 Einheiten):

    Die langfristige Preisuntergrenze liegt also bei 2,40 €. Bei jedem darunter liegenden Marktpreis kommt das Unternehmen in die Verlustzone und muss langfristig die Produktion einstellen.

  3. Die kurzfristige Preisuntergrenze entspricht nach wie vor den variablen Stückkosten, sie liegt also bei 2 €.

    Die langfristige Preisuntergrenze wird neu berechnet:

  4. Die langfristige Preisuntergrenze liegt bei 2,83 €, wenn nur 12.000 Einheiten abgesetzt werden können.

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